Cập Nhật Hướng Dẫn Không gian xác suất là gì Chi Tiết
CS 229 – Học máy
Xác suấtĐại số
Xác suất và Thống kê cơ bảnStar
Bởi Afshine Amidi và Shervine Amidi
Nội dung chính
- Xác suất và Thống kê cơ bảnStar
- Giới thiệu về Xác suất và Tổ hợp
- Xác suất có Đk
- Biến ngẫu nhiên
- Định nghĩa
- Phân bố xác suất
- Phân phối đồng thời biến ngẫu nhiên
- Ước lượng tham số
- Định nghĩa
- Ước lượng trung bình
- Ước lượng phương sai
- Video tương quan
Dịch bởi Hoàng Minh Tuấn và Hung Nguyễn
Giới thiệu về Xác suất và Tổ hợp
Không gian mẫu Một tập hợp những kết cục trọn vẹn có thể xẩy ra của một phép thử được gọi là không khí mẫu của phép thử và được kí hiệu là $S$.
Sự kiện (hay còn gọi là biến cố) Bất kỳ một tập hợp con $E$ nào của không khí mẫu đều được gọi là một sự kiện. Một sự kiện là một tập những kết cục trọn vẹn có thể xẩy ra của phép thử. Nếu kết quả của phép thử chứa trong $E$, toàn bộ chúng ta nói sự kiện $E$ đã xẩy ra.
Tiên đề của xác suất Với mỗi sự kiện $E$, toàn bộ chúng ta kí hiệu $P(E)$ là xác suất sự kiện $E$ xẩy ra.
Tiên đề 1 Mọi xác suất bất kì đều nằm trong mức chừng 0 đến 1:
[boxed0leqslant P(E)leqslant 1]
Tiên đề 2 Xác suất xẩy ra của tối thiểu một thành phần trong toàn bộ không khí mẫu là một trong:
[boxedP(S)=1]
Tiên đề 3 Với một chuỗi những biến cố xung khắc $E_1, …, E_n$, ta có:
[boxedPleft(bigcup_i=1^nE_iright)=sum_i=1^nP(E_i)]
Hoán vị Hoán vị là một cách sắp xếp $r$ thành phần từ một nhóm $n$ thành phần, theo một thứ tự nhất định. Số lượng cách sắp xếp như vậy là $P(n, r)$, được định nghĩa như sau:
[boxedP(n, r)=fracn!(n-r)!]
Tổ hợp Một tổng hợp là một cách sắp xếp $r$ thành phần từ $n$ thành phần, không quan trọng thứ tự. Số lượng cách sắp xếp như vậy là $C(n, r)$, được định nghĩa như sau:
[boxedC(n, r)=fracP(n, r)r!=fracn!r!(n-r)!]
Ghi chú: Chúng ta lưu ý rằng với $0leqslant rleqslant n$, ta có $P(n,r)geqslant C(n,r)$
Xác suất có Đk
Định lí Bayes Với những sự kiện $A$ và $B$ sao cho $P(B)>0$, ta có:
[boxedB)=fracA)P(A)P(B)]
Ghi chú: ta có $P(Acap B)=P(A)P(B|A)=P(A|B)P(B)$
Phân vùng Cho $A_i, iin[![1,n]!]$ sao cho với mỗi $i$, $A_ineqvarnothing$. Chúng ta nói rằng $A_i$ là một phân vùng nếu có:
[boxedforall ineq j, A_icap A_j=emptysetquadtextrm và quadbigcup_i=1^nA_i=S]
Ghi chú: với bất kể sự kiện $B$ nào trong không khí mẫu, ta có $displaystyle P(B)=sum_i=1^nP(B|A_i)P(A_i)$.
Định lý Bayes mở rộng Cho $A_i, iin[![1,n]!]$ là một phân vùng của không khí mẫu. Ta có:
[boxedP(A_k]
Sự kiện độc lập Hai sự kiện $A$ và $B$ sẽ là độc lập khi và chỉ khi ta có:
[boxedP(Acap B)=P(A)P(B)]
Biến ngẫu nhiên
Định nghĩa
Biến ngẫu nhiên Một biến ngẫu nhiên, thường được kí hiệu là $X$, là một hàm nối mỗi thành phần trong một không khí mẫu thành một số trong những thực.
Hàm phân phối tích lũy (CDF) Hàm phân phối tích lũy $F$, là một hàm đơn điệu không giảm, sao cho $undersetxrightarrow-inftytextrmlimF(x)=0$ và $undersetxrightarrow+inftytextrmlimF(x)=1$, được định nghĩa là:
[boxedF(x)=P(Xleqslant x)]
Ghi chú: toàn bộ chúng ta có $P(a < Xleqslant B)=F(b)-F(a)$.
Hàm tỷ suất xác suất (PDF) Hàm tỷ suất xác suất $f$ là xác suất mà $X$ nhận những giá trị giữa hai giá trị thực liền kề của biến ngẫu nhiên.
Mối quan hệ tương quan giữa PDF và CDF Dưới đấy là những thuộc tính quan trọng nên phải ghi nhận trong trường hợp rời rạc (D) và liên tục (C).
Trường hợpCDF $FUsDPDF $fUsDThuộc tính của PDF(D)$displaystyle F(x)=sum_x_ileqslant xP(X=x_i)$$f(x_j)=P(X=x_j)$$displaystyle0leqslant f(x_j)leqslant1textrm và sum_jf(x_j)=1$(C)$displaystyle F(x)=int_-infty^xf(y)dy$$f(x)=displaystyle fracdFdx$$displaystyle f(x)geqslant0textrm và int_-infty^+inftyf(x)dx=1$
Kỳ vọng và moment của phân phối Dưới đấy là những biểu thức của giá trị kì vọng $E[X]$, giá trị kì vọng tổng quát $E[g(X)]$, moment bậc $k$ $E[X^k]$ và hàm đặc trưng $psi(omega)$ cho những trường hợp rời rạc và liên tục:
CaseUsDE[X]$$E[g(X)]$$E[X^k]$$psi(omega)$(D)$displaystyle sum_i=1^nx_if(x_i)$$displaystyle sum_i=1^ng(x_i)f(x_i)$$displaystyle sum_i=1^nx_i^kf(x_i)$$displaystylesum_i=1^nf(x_i)e^iomega x_i$(C)$displaystyle int_-infty^+inftyxf(x)dx$$displaystyle int_-infty^+inftyg(x)f(x)dx$$displaystyle int_-infty^+inftyx^kf(x)dx$$displaystyleint_-infty^+inftyf(x)e^iomega xdx$
Phương sai Phương sai của một biến ngẫu nhiên, thường được kí hiệu là Var$(X)$ hoặc $sigma^2$, là một độ đo mức độ phân tán của hàm phân phối. Nó được xác lập như sau:
[boxedtextrmVar(X)=E[(X-E[X])^2]=E[X^2]-E[X]^2]
Độ lệch chuẩn Độ lệch chuẩn của một biến ngẫu nhiên, thường được kí hiệu $sigma$, là thước đo mức độ phân tán của hàm phân phối của nó so với những cty của biến ngẫu nhiên thực tiễn. Nó được xác lập như sau:
[boxedsigma=sqrttextrmVar(X)]
Biến đổi những biến ngẫu nhiên Đặt những biến $X$ và $Y$ được link với nhau bởi một hàm. Kí hiệu $f_X$ và $f_Y$ lần lượt là những phân phối của $X$ và $Y$, ta có:
[boxedf_Y(y)=f_X(x)left]
Quy tắc tích phân Leibniz Gọi $g$ là hàm của $x$ và trọn vẹn có thể $c$, và $a$,$b$ là những ranh giới trọn vẹn có thể tùy từng $c$. Chúng ta có:
[boxedfracpartialpartial cleft(int_a^bg(x)dxright)=fracpartial bpartial ccdot g(b)-fracpartial apartial ccdot g(a)+int_a^bfracpartial gpartial c(x)dx]
Phân bố xác suất
Bất đẳng thức Chebyshev Gọi $X$ là biến ngẫu nhiên có mức giá trị kỳ vọng $mu$. Với $k, sigmavàgt;0$, toàn bộ chúng ta có bất đẳng thức sau:
[boxedP(]
Các phân phối chính Dưới là những phân phối chính cần ghi nhớ:
LoạiPhân phốiPDF$psi(omega)$$E[X]$$textrmVar(X)$Illustration(D)$XsimmathcalB(n, p.)$$displaystyle displaystylebinomnx p.^xq^n-x$$(pe^iomega+q)^n$$np$$npq$(D)$XsimtextrmPo(mu)$$displaystyle fracmu^xx!e^-mu$$e^mu(e^iomega-1)$$mu$$mu$(C)$XsimmathcalU(a, b)$$displaystyle frac1b-a$$displaystylefrace^iomega b-e^iomega a(b-a)iomega$$displaystylefraca+b2$$displaystylefrac(b-a)^212$(C)$XsimmathcalN(mu, sigma)$$displaystyle frac1sqrt2pisigmae^-frac12left(fracx-musigmaright)^2$$e^iomegamu-frac12omega^2sigma^2$$mu$$sigma^2$(C)$XsimtextrmExp(lambda)$$displaystyle lambda e^-lambda x$$displaystylefrac11-fraciomegalambda$$displaystylefrac1lambda$$displaystylefrac1lambda^2$
Phân phối đồng thời biến ngẫu nhiên
Mật độ biên và phân phối tích lũy Từ hàm phân phối tỷ suất đồng thời $f_XY$, ta có
Trường hợpMật độ biênHàm tích lũy(D)$displaystyle f_X(x_i)=sum_jf_XY(x_i,y_j)$$displaystyle F_XY(x,y)=sum_x_ileqslant xsum_y_jleqslant yf_XY(x_i,y_j)$(C)$displaystyle f_X(x)=int_-infty^+inftyf_XY(x,y)dy$$displaystyle F_XY(x,y)=int_-infty^xint_-infty^yf_XY(x’,y’)dx’dy’$
Mật độ có Đk Mật độ có Đk của $X$ với $Y$, thường được kí hiệu là $f_Y$, được định nghĩa như sau:
[boxedf_Y(x)=fracf_XY(x,y)f_Y(y)]
Tính chất độc lập Hai biến ngẫu nhiên $X$ và $Y$ độc lập nếu ta có:
[boxedf_XY(x,y)=f_X(x)f_Y(y)]
Hiệp phương sai Chúng ta xác lập hiệp phương sai của hai biến ngẫu nhiên $X$ và $Y$, thường được kí hiệu $sigma_XY^2$ hay $textrmCov(X,Y)$, như sau:
[boxedtextrmCov(X,Y)triangleqsigma_XY^2=E[(X-mu_X)(Y-mu_Y)]=E[XY]-mu_Xmu_Y]
Hệ số tương quan Kí hiệu $sigma_X$,$sigma_Y$ là độ lệch chuẩn của $X$ và $Y$, toàn bộ chúng ta xác lập thông số kỹ thuật tương quan giữa $X$ và $Y$, kí hiệu $rho_XY$, như sau:
[boxedrho_XY=fracsigma_XY^2sigma_Xsigma_Y]
Ghi chú 1: toàn bộ chúng ta lưu ý rằng với bất kể biến ngẫu nhiên $X, Y$ nào, ta luôn có $rho_XYin[-1,1]$.
Ghi chú 2: Nếu $X$ và $Y$ độc lập với nhau thì $rho_XY = 0$.
Ước lượng tham số
Định nghĩa
Mẫu ngẫu nhiên Mẫu ngẫu nhiên là tập hợp của $n$ biến ngẫu nhiên $X_1, …, X_n$ độc lập và được phân phối giống hệt với $X$.
Công cụ ước tính Công cụ ước tính (estimator) là một hàm của tài liệu được sử dụng để suy ra giá trị của một tham số chưa chắc như đinh trong quy mô thống kê.
Thiên vị Thiên vị (bias) của Estimator $hattheta$ được định nghĩa là chênh lệch giữa giá trị kì vọng của phân phối $hattheta$ và giá trị thực, tức là
[boxedtextrmBias(hattheta)=E[hattheta]-theta]
Ghi chú: một công cụ ước tính được cho là không thiên vị (unbiased) khi toàn bộ chúng ta có $E[hattheta]=theta$.
Ước lượng trung bình
Giá trị trung bình mẫu Giá trị trung bình mẫu của mẫu ngẫu nhiên được sử dụng để ước tính giá trị trung bình thực $mu$ của phân phối, thường được kí hiệu $overlineX$ và được định nghĩa như sau:
[boxedoverlineX=frac1nsum_i=1^nX_i]
Ghi chú: trung bình mẫu là không thiên vị (unbiased), nghĩa là $E[overlineX]=mu$.
Định lý số lượng giới hạn TT Giả sử toàn bộ chúng ta có một mẫu ngẫu nhiên $X_1, …, X_n$ theo một phân phối nhất định với trung bình $mu$ và phương sai $sigma^2$, tiếp theo đó toàn bộ chúng ta có:
[boxedoverlineXundersetnrightarrow+inftysimmathcalNleft(mu, fracsigmasqrtnright)]
Ước lượng phương sai
Phương sai mẫu Phương sai mẫu của mẫu ngẫu nhiên được sử dụng để ước lượng phương sai thực sự $sigma^2$ của phân phối, thường được kí hiệu là $s^2$ hoặc $hatsigma^2$ và được định nghĩa như sau:
[boxeds^2=hatsigma^2=frac1n-1sum_i=1^n(X_i-overlineX)^2]
Ghi chú: phương sai mẫu không thiên vị (unbiased), nghĩa là $E[s^2]=sigma^2$.
Quan hệ Chi-Squared với phương sai mẫu Với $s^2$ là phương sai mẫu của một mẫu ngẫu nhiên, ta có:
[boxedfracs^2(n-1)sigma^2simchi_n-1^2]
đoạn Clip Không gian xác suất là gì ?
Bạn vừa Read Post Với Một số hướng dẫn một cách rõ ràng hơn về đoạn Clip Không gian xác suất là gì mới nhất , Pro đang tìm một số trong những Share Link Down Không gian xác suất là gì miễn phí.
Giải đáp thắc mắc về Không gian xác suất là gì
Nếu sau khoản thời hạn đọc nội dung bài viết Không gian xác suất là gì vẫn chưa hiểu thì trọn vẹn có thể lại phản hồi ở cuối bài để Admin lý giải và hướng dẫn lại nha
#Không #gian #xác #suất #là #gì